Question

已知：如圖，D為線段AB上一點（不與點A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．
（1）如圖1，當點D恰是AB的中點時，請你猜想并證明∠ACE與∠BCF的數量關系；
（2）如圖2，當點D不是AB的中點時，你在（1）中所得的結論是否發生變化，寫出你的猜想并證明；
（3）若∠ACB=α，直接寫出∠ECF的度數（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）猜想：∠ACE=∠BCF．
證明：∵D是AB中點，
∴AD=BD，
又∵AE=BD，BF=AD，
∴AE=BF．
∵CD⊥AB，AD=BD，
∴CA=CB．
∴∠1=∠2．
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠3=∠4=90°．
∴∠1+∠3=∠2+∠4．
即∠CAE=∠CBF．
∴△CAE≌△CBF．
∴∠ACE=∠BCF．…

（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．
證明：連接BE、AF．
∵CD⊥AB，AE⊥AB，
∴∠CDB=∠BAE=90°．
又∵BD=AE，CD=AB，
△CDB≌△BAE．…
∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．
在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°．
∴∠EBA+∠CBD=90°．
即∠CBE=90°．
∴△BCE是等腰直角三角形．
∴∠BCE=45°． …
同理可證：△ACF是等腰直角三角形．
∴∠ACF=45°． …
∴∠ACF=∠BCE．
∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．
即∠ACE=∠BCF．…

（3）∠ECF的度數為90°-α．…
分析：（1）D恰是AB的中點時，則AD是AB的中垂線，則CA=CB，易證∠CAE=∠CBF，則易證△CAE≌△CBF，得到∠ACE=∠BCF；
（2）連接BE、AF，則易證△CDB≌△BAE，則△BCE和△ACF都是等腰直角三角形，則∠ACF=∠ECB=45°，即可證得：∠ACE=∠BCF；
（3）根據∠ACF=∠ECB=45°，再依據∠ECF=∠ACF-∠ACE=∠ACF-（∠ACB-∠BCE）即可求解．
點評：本題考查了三角形全等的判定，正確證明△BCE和△ACF都是等腰直角三角形是關鍵．