Question

【題目】二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，4），且與直線y=﹣ x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．

（1）求二次函數的表達式；
（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線y=﹣ x+1可知A（0，1），B（﹣3， ），又點（﹣1，4）經過二次函數，

根據題意得： ，

解得： ，

則二次函數的解析式是：y=﹣ ﹣ x+1；

（2）解：方法一：設N（x，﹣ x2﹣ x+1），

則M（x，﹣ x+1），P（x，0）．

∴MN=PN﹣PM

=﹣ x2﹣ x+1﹣（﹣ x+1）

=﹣ x2﹣ x

=﹣ （x+ ）2+ ，

則當x=﹣ 時，MN的最大值為 ；

方法二：設N（t，﹣ ），

∴M（t，﹣ t+1），

∴MN=Ny﹣My=﹣ + t﹣1，

∴MN=﹣ ，

當t=﹣ 時，MN有最大值，MN=

（3）解：方法一：連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，

即四邊形BCMN是菱形，

則MN=BC，且BC=MC，

即﹣ x2﹣ x= ，

且（﹣ x+1）2+（x+3）2= ，

解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．

故當N（﹣1，4）時，BM和NC互相垂直平分

方法二：若BM與NC相互垂直平分，則四邊形BCMN為菱形．

∴NC⊥BM且MN=BC= ，

即﹣ = ，

∴t1=﹣1，t2=﹣2，

①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），

∴KNC= =2，

∵KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB=﹣1，

∴NC⊥BM．

②t2=﹣2，N（﹣2， ），C（﹣3，0），

∴KNC= = ，KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB≠﹣1，此時NC與BM不垂直．

∴滿足題意的N點坐標只有一個，N（﹣1，4）．

【解析】（1）根據已知條件拋物線與直線相交于A、B兩點。且點A在y軸上，由此根據x=0,求出點A的坐標，又有BC⊥x軸，將x=-4代入一次函數解析式求出點B的坐標，再利用待定系數法，將點A、B、C三點分別代入二次函數解析式，建立方程組求解即可。
（2）抓住已知條件點N在AB上方，NP⊥x軸，交AB于點M，可知點M（在直線AB上）、N（在拋物線上）的橫坐標相等，由此根據兩函數解析式分別設點M、N的坐標，再求出PN,PM，根據MN=PN﹣PM，建立MN關于x的二次函數，求出其頂點坐標即可求出結論。或MN=Ny﹣My，建立函數也可。注意：MN＞0.
（3）由已知BM與NC相互垂直平分，可證得四邊形BCMN是菱形，根據點B的縱坐標可得出菱形的邊長MN=，且CP2+PM2=CM2。建立方程求解即可求出點N的坐標；或根據MN=建立方程求解，再根據t的取值去判斷NC與BM是否垂直，從而得出N點坐標。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用因式分解法和二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．