Question

【題目】如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數軸上原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒π個單位，大圓的運動速度為每秒2π個單位．

（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是　　；

（2）若小圓不動，大圓沿數軸來回滾動，規定大圓向右滾動時間記為正數，向左滾動時間記為負數，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8

①第幾次滾動后，大圓離原點最遠？

②當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是多少？（結果保留π）

（3）若兩圓同時在數軸上各自沿著某一方向連續滾動，滾動一段時間后兩圓與數軸重合的點之間相距9π，求此時兩圓與數軸重合的點所表示的數．

Answer 1

【答案】（1）﹣4π；

（2）①第6次滾動后，大圓離原點最遠；

②當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有40π，此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是20π；

（3）18π、9π或﹣18π、﹣9π或6π、﹣3π或﹣6π、3π．

【解析】

（1）該圓與數軸重合的點所表示的數的絕對值，就是大圓的周長；
（2）①分別計算出第幾次滾動后，大圓離原點的距離，比較作答；
②先計算總路程，因為小圓不動，計算各數之和為-10，即大圓最后的落點為原點左側，向左滾動10秒，距離為20π；
（3）分四種情況進行討論：大圓和小圓分別在同側，異側時，表示出各自與數軸重合的點所表示的數．根據兩圓與數軸重合的點之間相距9π列等式，求出即可．

解：（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是﹣2π2＝﹣4π；

（2）①第1次滾動后，|﹣1|＝1，

第2次滾動后，|﹣1+2|＝1，

第3次滾動后，|﹣1+2﹣4|＝3，

第4次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，

第5次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，

第6次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，

則第6次滾動后，大圓離原點最遠；

②1+2+4+3+2+8＝20，

20×2π＝40π，

﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，

∴當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有40π，此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是20π；

（3）設時間為t秒，

分四種情況討論：

i）當兩圓同向右滾動，

由題意得：t秒時，大圓與數軸重合的點所表示的數：2πt，

小圓與數軸重合的點所表示的數為：πt，

2πt﹣πt＝9π，

2t﹣t＝9，

t＝9，

2πt＝18π，πt＝9π，

則此時兩圓與數軸重合的點所表示的數分別為18π、9π．

ii）當兩圓同向左滾動，

由題意得：t秒時，大圓與數軸重合的點所表示的數：﹣2πt，

小圓與數軸重合的點所表示的數：﹣πt，

﹣πt+2πt＝9π，

﹣t+2t＝9，

t＝9，

﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π，

則此時兩圓與數軸重合的點所表示的數分別為﹣18π、﹣9π．

iii）當大圓向右滾動，小圓向左滾動時，

同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π，

3t＝9，

t＝3，

2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π，

則此時兩圓與數軸重合的點所表示的數分別為6π、﹣3π．

iiii）當大圓向左滾動，小圓向右滾動時，

同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π，

t＝3，

πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π，

則此時兩圓與數軸重合的點所表示的數分別為﹣6π、3π．