Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD 中，E、F 分別為BC、AD 上的點，將四邊形ABEF 沿直線EF 折疊后，點B 落在CD 邊上的點G 處，點A 的對應點為點H．再將折疊后的圖形展開，連接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
（1）求證：△ABF≌△DFG；
（2）已知AB=3，AD=5，求tan∠CBG 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠ABF=90°，

∵BF⊥GF，

∴∠AFB+∠DFG=90°，

∴∠ABF=∠DFG，

由折疊知BF=GF，

在△ABF和△DFG中，

，

∴△ABF≌△DFG（AAS）；

（2）解：由（1）得DF=AB=3，DG=AF，

∴DG=AF=AD﹣DF=5﹣3=2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠C=90°，

∴CG=CD﹣DG=3﹣2=1，

∴tan∠CBG= ．

【解析】（1）根據∠AFB+∠ABF=90°，∠AFB+∠DFG=90°，即可得到∠ABF=∠DFG，由折疊知BF=GF，根據AAS即可判定△ABF≌△DFG；（2）根據全等三角形的性質可得DF=AB=3，DG=AF，求得DG再根據，四邊形ABCD是矩形，求得CG，即可得出tan∠CBG 的值．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質和翻折變換（折疊問題），掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等即可以解答此題．