Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F．

（1）求證：CD=BE；

（2）若AB=4，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，且DG=1，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)AD//BE可得∠DAE=∠E，由AE平分∠BAD可得∠DAE=∠EAB進(jìn)而可得∠EAB=∠E，即可證明CD=BE.（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AD=DF，由DF=CF，∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE可證明△ADF≌△ECF，得AF=EF，由DG是等腰三角形ADF的高可知AG=GF，根據(jù)勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，由AE=2AF求出AE的長(zhǎng)即可.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD//AB，

∴∠DAE=∠E，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠EAB，

∴∠EAB=∠E，

∴CD=BE.

（2）∵CD//AB.

∴∠BAF=∠DFA.

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠EAB，

∴∠DAF=∠DFA.

∴DA=DF.

∵F為DC中點(diǎn)，AB=4，

∴DF=CF=AD=2，

∵DG⊥AE，DG=1，

∴AG=GF=，AF=2AG=2，

∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.

∴△ADF≌△ECF.

∴AF=EF.

∴AE=2AF=4.