Question

【題目】已知二次函數y1＝ax2+bx+1（a＞0），一次函數y2＝x．

（Ⅰ）若二次函數y1的圖象與一次函數y2的圖象只有一個交點，求a與b之間的關系；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，y1的圖象與y2圖象的交點為P，且點P的橫坐標是2，若將y2向上平移t個單位，與y1交于兩點Q，R，△PQR面積為2，求t；

（Ⅲ）二次函數y1圖象與一次函數y2圖象有兩個交點（x1，y1）（x2，y2），且滿足x1＜2＜x2＜4，此時設函數y1的對稱軸為x＝m，求m的范圍．

Answer 1

【答案】（1）b2﹣2b+1＝4a；（2）t＝1；（3）﹣1＜m＜2．

【解析】

根據二次函數、一次函數、正比例函數的性質，求出交點坐標即可．

解：（1）若二次函數y1的圖象與一次函數y2的圖象只有一個交點，

即：ax2+bx+1＝x，△＝（b﹣1）2﹣4a＝0，

解得：b2﹣2b+1＝4a，…①

答：a與b之間的關系是b2﹣2b+1＝4a；

（2）圖象如上圖所示，若將y2向上平移t個單位后所在直線為PR所在直線為y＝x+t ，

將P點坐標（2，2）代入二次函數方程得：4a+2b+1＝2…②

聯立方程①②解得：b＝0，a＝，

點Q、R的坐標由方程③和二次函數聯立得：

x2﹣x+1﹣t＝0，則：|xQ﹣xP|＝4，

S△PQR＝ |xQ﹣xP|PH＝2，解得：t＝1，

答：t＝1；

（3），即：ax2+（b﹣1）x+1＝0，

方程有兩個根x1＜2＜x2＜4，根據函數得：

解得：﹣1＜﹣＜2，

答：m的范圍為﹣1＜m＜2．