Question

【題目】如圖，已知 A、B是線段MN上的兩點，MN4，MA1，MB1．以A為中心順 時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使MN 兩點重合成一點C，構成△ABC，設ABx.（1）則x的取值范圍是_________；（2）△ABC的最大面積是_________.

C

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）因為所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三邊之間的關系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進行解答．

（2）在△ABC中，AB的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因為三角形形狀不固定，

高在發生變化，所以造成面積不固定，需分情況進行討論．具體分①若點D在線段AB上，②若點D在線段MA上兩種情況．

(1)∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3x.

∴，

解得1<x<2；

(2)在△ABC中，作CD⊥AB于D，

設CD=h,△ABC的面積為S,則S=xh，

①若點D在線段AB上，

則+=x，

∴(3x)2h2=x22x+1h2，

即x=3x4,

∴x2(1h2)=9x224x+16，

即x2h2=8x2+24x16.

∴S2=x2h2=2x2+6x4=2(x)2+ (≤x<2)，

當x=時(滿足≤x <2)S2取最大值,從而S取最大值；

②若點D在線段MA上，

則=x，

同理可，得

S2=x2h2=2x2+6x4

=2(x)2+ (1<x≤)，

易知此時S<，

綜合①②得,△ABC的最大面積為.