Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”的說法：①方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”；②若(x－2)(mx＋n)＝0是“倍根方程”，則4m2＋5mn＋n2＝0；③若pq＝2，則關于x的方程px2＋3x＋q＝0是“倍根方程”；④若方程ax2＋bx＋c＝0是“倍根方程”，且5a＋b＝0，則方程ax2＋bx＋c＝0的一個根為.其中正確的是____(填序號)．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①解得方程后即可利用倍根方程的定義進行判斷；

②根據（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-得到=-1，或=-4，從而得到m+n=0，4m+n=0，進而得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0正確；

③已知條件pq=2，然后解方程px2+3x+q=0即可得到正確的結論；

④利用“倍根方程”的定義進行解答．

①解方程x2-3x+2=0得：x1=2，x2=1，

∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正確；

②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-，

∴=-1，或=-4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正確；

③∵pq=2，

解方程px2+3x+q=0得：x1=-，x2=-，

∴x2=2x1，故③正確；

④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

∴設x1=2x2，

∴x1+x2=5，

∴x2+2x2=5，

∴x2=，故④錯誤．

故答案是：①②③．