Question

【題目】數學活動課上，某學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．
（1）初步嘗試
如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

（2）類比發現
如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；

（3）深入探究
如圖3，若AD=3AB，探究得： 的值為常數t，則t= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）證明：設DH=x，由題意，CD=2x，CH= x，

∴AD=2AB=4x，

∴AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC= =2 x，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴ = =2，

∴AE=2FH．

（3）
【解析】解； （3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．

∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°，

∵∠AFC+∠CFN=180°，

∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，

∴△CFN∽△CEM，

∴ = ，

∵ABCM=ADCN，AD=3AB，

∴CM=3CN，

∴ = = ，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，

∵∠MAH=60°，∠M=90°，

∴∠AHM=∠CHN=30°，

∴HC=2a，HM=a，HN= a，

∴AM= a，AH= a，

∴AC= = a，

AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM= a，

∴ = = ．

故答案為 ．

（1）①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據①的結論得到BE=AF，由此即可證明．（2）設DH=x，由題意，CD=2x，CH= x，由△ACE∽△HCF，得 = 由此即可證明．（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．先證明△CFN∽△CEM，得 = ，由ABCM=ADCN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以 = = ，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，想辦法求出AC，AE+3AF即可解決問題．