Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是BD上一點，AP的延長線交CD于點Q，交BC的延長線于點G，點M是GQ的中點，連接CM．求證：PC⊥MC．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：根據正方形的性質可得出∠ADP=∠CDP、AD=CD，結合DP=DP即可證出△ADP≌△CDP（SAS），根據全等三角形的性質可得出∠DCP=∠DAG，由AD∥BG可得出∠DAG=∠G，進而得出∠DCP=∠G，由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可得出∠MCQ=∠MQC，再結合∠G、∠MQC互余，即可證出∠DCP+∠MCQ=90°，即PC⊥MC．

詳解：證明：∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ADP=∠CDP，AD=CD．

在△ADP和△CDP中，

，

∴△ADP≌△CDP（SAS），

∴∠DCP=∠DAG．

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD∥BG，

∴∠DAG=∠G．

∴∠DCP=∠G．

又∵∠QCG=90°，M為GQ中點，

∴CM=QM，

∴∠MCQ=∠MQC．

又∵∠G+∠MQC=90°，

∴∠DCP+∠MCQ=90°，

∴PC⊥MC．