Question

【題目】如圖，已知拋物線（k為常數，且k＞0）與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經過點B的直線與拋物線的另一個交點為D.

(1)若點D的橫坐標為x= -4，求這個一次函數與拋物線的解析式；

(2)若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？

(3)問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得△APB∽△ABC？若存在，請求出這時k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 最大值是4（3）存在

【解析】分析：（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B點坐標代入y=﹣x+b中求出得b=2，則可得到一次函數解析式為y=﹣x+2，接著利用一次函數解析式確定D點坐標，然后把D點坐標代入代入y=k（x+2）（x﹣4）中求出k的值即可得到得拋物線解析式；

（2）利用二次函數和一次函數圖象上點的坐標特征，可設F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根據二次函數的性質求解；

（3）作PH⊥x軸于H，如圖，先表示出C點坐標為（0，﹣8k），設P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根據相似三角形的判定方法，當∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；再根據正切定義．在Rt△APH中有tan∠PAH=．在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，則=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接著利用勾股定理計算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到102=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可確定P點坐標．

詳解：（1）當y=0時，k（x+2）（x﹣4）=0，解得：x1=﹣2，x2=4，則A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=﹣x+b得：﹣2+b=0，解得：b=2，所以一次函數解析式為y=﹣x+2，當x=﹣4時，y=﹣x+2=4，則D點坐標為（4，4），把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得：k（﹣2）（﹣8）=4，解得：k=，所以拋物線解析式為y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；

（2）設F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，所以當t=0時，EF最大，最大值為4，即當直線m移動到與y軸重合的位置時，EF的值最大，最大值是4；

（3）存在．

作PH⊥x軸于H，如圖，當x=0時，y=k（x+2）（x﹣4）=﹣8k，則C（0，﹣8k），設P[n，k（n+2）（n﹣4）]，當∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；

在Rt△APH中，tan∠PAH=．在Rt△OAC中，tan∠OAC==4k，∴=4k，解得：n=8，則P（8，40k），∴AP===10，而AC===2．∵AP：AB=AB：AC，∴APAC=AB2，即102=62，∴5（16k2+1）=9，解得：k1=，k2=﹣（舍去），∴k=4，P點坐標為（8，4）．