Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P是第一象限拋物線上的一個動點，連接CP交x軸于點E，過點P作PK∥x軸交拋物線于點K，交y軸于點N，連接AN、EN、AC，設點P的橫坐標為t，四邊形ACEN的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是PC中點，過點K作PC的垂線與過點F平行于x軸的直線交于點H，KH＝CP，點Q為第一象限內直線KP下方拋物線上一點，連接KQ交y軸于點G，點M是KP上一點，連接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S＝t2+t；（3）Q（，）．

【解析】

（1）函數的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；

（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；

（3）證明△CNP≌△KRH，求出點P（4，5）確定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，最后計算KT＝MT＝（），FT＝4﹣（+），tan∠MFT＝＝4﹣m，即可求解．

（1）函數的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）過點P作PH⊥y軸交于點H，設點P（t，t2﹣2t﹣3），

CN＝t2﹣2t﹣3+3＝t2﹣2t，

∴tan∠PCH＝＝＝，

，解得：OE＝，

S＝S△NCE+S△NAC＝AE×CN＝t2+t；

（3）過點K作KR⊥FH于點R，

∵KH＝CP，∠NCP＝∠H，∠R＝∠PNC＝90°，

∴△CNP≌△KRH，∴PN＝KR＝NS，

∵點F是PC中點，SF∥NP，

∴PN＝KR＝NS＝CN，即t＝（t2﹣2t﹣3+3），

解得：t＝0或4（舍去0），點P（4，5），

點K、P時關于對稱軸的對稱點，故點K（﹣2，5），

∵OE∥PN，則，故OE＝，同理AE＝，

設點Q（m，m2﹣2m﹣3），過點Q作WQ⊥KP于點W，

WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2，

tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，

則NG＝8﹣2m，

MP＝AE+GN＝（8﹣2m）＝﹣m+，

KM＝KP﹣MP＝，

過點F作FL⊥KP于點L，點F（2，1），

則FL＝LK＝4，則∠LKF＝45°，

∵∠MFK＝∠PKQ，

tan∠MFK＝tan∠QKP＝4﹣m，

過點M作MT⊥FK于點T，則KT＝MT＝（），

FT＝4﹣（），

tan∠MFT＝＝4﹣m，

解得：m＝11或（舍去11），

故點Q（，）．