Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為（1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）當M的坐標為（﹣，）

【解析】分析：(1)、將點A的坐標代入函數解析式求出b的值，然后將二次函數進行配方從而得出頂點坐標；(2)、根據二次函數的解析式分別得出點A、B、C的坐標，然后分別求出AC、BC和AB的長度，然后根據勾股定理的逆定理得出答案；(3)、由拋物線的性質可知，點A與點B關于對稱軸對稱，則BC與對稱軸的交點就是點M，根據一次函數的交點求法得出點M的坐標．

詳解：(1)、∵點A（1，0）在拋物線y=﹣x2+bx+2上，∴﹣+b+2=0，解得，b=﹣，

拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，

則頂點D的坐標為（﹣，）；

(2)、△ABC是直角三角形，

證明：點C的坐標為（0，2），即OC=2， ﹣x2﹣x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，

則點B的坐標為（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5，

由勾股定理得，AC=，BC=2， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形；

(3)、由拋物線的性質可知，點A與點B關于對稱軸對稱，

連接BC交對稱軸于M，此時△ACM的周長最小， 設直線BC的解析式為：y=kx+b，

由題意得，， 解得，， 則直線BC的解析式為：y=x+2，

當x=﹣時，y=， ∴當M的坐標為（﹣，）．