Question

【題目】已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥AB,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點(diǎn)F連接AE、AF.

(1)求證:∠ECF=90°；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下,△ABC應(yīng)該滿足條件:______________，就能使矩形AECF變?yōu)檎�方形�?/span>(直接添加條件,無需證明)

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由詳見解析；（3）∠ACB為直角的直角三角形．

【解析】

（1）已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，根據(jù)角平分線的定義可得∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，由平角的定義即可證得結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義易證∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，由等腰三角形的判定可得EO=CO，F(xiàn)O=CO，即可得OE=OF；當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得四邊形AECF是平行四邊形，結(jié)合（1），根據(jù)有一個(gè)角為直角的的平行四邊形為矩形即可證得四邊形AECF是矩形；（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．由已知和（2）得到的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

（1）證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠ECF= ×180°=90°；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，

∴OE=OF；

又∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形；

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．

∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．

故答案為：∠ACB為直角的直角三角形．