Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知A（–1，0），且直線BC的解析式為y=x-2，作垂直于x軸的直線，與拋物線交于點F，與線段BC交于點E（不與點B和點C重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△CEF是以CE為腰的等腰三角形，求m的值；

（3）點P為y軸左側拋物線上的一點，過點P作交直線BC于點M，連接PB，若以P、M、B為頂點的三角形與△ABC相似，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）符合條件的點P為P1（-1，0）或

【解析】

（1）將y=0代入y=x-2中，即可求出點B的坐標，然后利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先分別用m表示出點E和點F的坐標，然后根據勾股定理分別求出CE2、CF2和EF2，然后根據等腰三角形腰的情況分類討論，分別求出對應的m值即可；

（3）根據勾股定理的逆定理證出△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，然后根據相似三角形的對應情況分類討論，利用相似三角形的判定及性質和銳角三角函數即可求出結論．

解：（1） 由題意得：

將y=0代入y=x-2中，得x=4

∴點B的坐標為（4,0）

將A（-1，0），B（4，0）代入得

，

解得，

（2）

∴

（i） 若以C為等腰三角形的頂點，則CE2=CF2

∴

解得：m1=2，m2=4（不符合前提條件，故舍去）；

（ii） 若以E為等腰三角形的頂點，則EC2=EF2

∴

解得：（不符合前提條件，故舍去）；

綜上：m=2或

（3） ①根據勾股定理可得：AC==，BC==，AB=5

∴AC2+BC2=25=AB2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°

∴當點P與點A重合時，點M與點C重合，此時P1（-1，0），

②如圖，當△BPM∽△ABC時，

∴∠BPM=∠ABC

過點M作HR∥x軸，作PH⊥HR于點H，BR⊥HR與點R，

∴∠PHM=∠MRB=∠PMB=90°

∴∠HPM＋∠PMH=90°，∠RMB＋∠PMH=90°

∴∠HPM=∠RMB

∴△PHM∽△MRB

∴

又∵AB//HR

∴

∴

令BR=a，MR=2a

又∵

∴

∴

∴PH=4a，HM=2a，PQ=3a，

又∵點P在拋物線上，將代入

整理，得

解得：（舍），

∴

∴符合條件的點P為P1（-1，0）或