Question

【題目】如圖，F為⊙O上的一點，過點F作⊙O的切線與直徑AC的延長線交于點D，過圓上的另一點B作AO的垂線，交DF的延長線于點M，交⊙O于點E，垂足為H，連接AF，交BM于點G．

（1）求證：△MFG為等腰三角形．

（2）若AB∥MD，求MF、FG、EG之間的數量關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）FG2＝EGMF，理由詳見解析；（3） ．

【解析】

（1）連接OF，由切線的性質結合等角的余角相等可得出∠MFG＝∠AGH，進而得出∠MFG＝∠MGF，可證出△MFG為等腰三角形；

（2）由MD∥AB可得出∠M＝∠B，連接EF，則∠EFG＝∠B，進而可得出∠M＝∠EFG，結合∠MGF＝∠FGE可得出△MGF∽△FGE，利用相似三角形的性質可得出FG2＝EGMG，結合MF＝MG可得出FG2＝EGMF；

（3）由∠M＝∠B，tan∠M＝,設AH＝3k，則HB＝4k，AB＝5k，連接FO，OB，由∠MHD＝∠OFD＝90°，∠D＝∠D可得出∠FOD＝∠M，結合FD＝6，可得出FO＝8＝OB＝OA，進而可得出OH＝8﹣3k，在Rt△OHB中，利用勾股定理可求出k值，由MD∥AB可得出∠MFG＝∠BAF，進而可得出∠BGA＝∠BAG，由等角對等腰可得出AB＝GB＝5k，結合BH＝4k可得出GH＝k，結合AH＝3k利用勾股定理可求出AG＝k，再代入k值即可求出結論．

（1）證明：連接OF，如圖1所示．

∵DF為⊙O的切線，

∴OF⊥DM，

∴∠MFG+∠AFO＝90°．

∵BH⊥AD，

∴∠AHG＝90°，

∴∠AGH+∠GAH＝90°．

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠MFG＝∠AGH．

又∵∠MGF＝∠AGH，

∴∠MFG＝∠MGF，

∴△MFG為等腰三角形．

（2）解：FG2＝EGMF，理由如下：

∵MD∥AB，

∴∠M＝∠B．

連接EF，如圖2所示．

∵∠EFG＝∠B，

∴∠M＝∠EFG．

又∵∠MGF＝∠FGE，

∴△MGF∽△FGE，

∴,即FG2＝EGMG，

∴FG2＝EGMF．

（3）解：∵∠M＝∠B，tan∠M＝，

∴設AH＝3k，則HB＝4k，AB＝5k．

連接FO，OB，如圖3所示．

∵∠MHD＝∠OFD＝90°，∠D＝∠D，

∴∠FOD＝∠M．

∵FD＝6，

∴FO＝8＝OB＝OA，

∴OH＝8﹣3k．

在Rt△OHB中，OH2+HB2＝OB2，即（4k）2+（8﹣3k）2＝82，

解得：k＝．

∵MD∥AB，

∴∠MFG＝∠BAF，

∴∠BGA＝∠BAG，

∴AB＝GB＝5k，

∴GH＝k，

∴AG＝k，（勾股定理）

∴AG＝．