Question

【題目】閱讀理解應用

待定系數法：設某一多項式的全部或部分系數為未知數、利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值．

待定系數法可以應用到因式分解中，例如問題：因式分解．

因為為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積．

故我們可以猜想可以分解成，展開等式右邊得：

，根據待定系數法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等：，，可以求出，．

所以．

（1）若取任意值，等式恒成立，則________；

（2）已知多項式有因式，請用待定系數法求出該多項式的另一因式；

（3）請判斷多項式是否能分解成的兩個均為整系數二次多項式的乘積，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）多項式能分解成兩個均為整系數二次多項式的乘積，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據題目中的待定系數法原理即可求得結果；
（2）根據待定系數法原理先設另一個多項式，然后根據恒等原理即可求得結論；
（3）根據待定系數原理和多項式乘以多項式即可求得結論．

（1）根據待定系數法原理，得3-a=2，a=1．
故答案為1．
（2）設另一個因式為（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b
∴a+1=0 a=-1 b=3
∴多項式的另一因式為x2-x+3．
答：多項式的另一因式x2-x+3．
（3）多項式x4+x2+1能分解成兩個整系數二次多項式的乘積．理由如下：
設多項式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x+1）（x3+ax2+bx+c）或③（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
=x4+ax3+bx2+ax+b
=x4+ax3+（b+1）x2+ax+b
∴a=0， b+1=1， b=1
由b+1=1得b=0≠1，故此種情況不存在.
②（x+1）（x3+ax2+bx+c），
=x4+ax3+bx2+cx+x3+ax2+bx+c
=x4+（a+1）x3+（b+a）x2+（b+c）x+c
∴a+1=0 b+a=1 b+c=0 c=1
解得a=-1，b=2，c=1，
又 b+c=0，b=-1≠2，故此種情況不存在．
③（x2+x+1）（x2+ax+1）
=x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1
∴a+1=0，a+2=1，
解得a=-1．
即x4+x2+1=（x2+x+1）（x2-x+1）
∴x4+x2+1能分解成兩個整系數二次三項式的乘積卻不能分解成兩個整系數二次二項式與二次三項式的乘積．
答：多項式x4+x2+1能分解成兩個整系數二次三項式的乘積．