Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，D是射線BC上一點(點D不與點B重合)，連結AD，將AD繞著點D逆時針旋轉∠BAC的度數得到AE，連結DE、CE.

（1）當點D在邊BC上，求證：△BAD≌△CAE.

（2）當點D在邊BC上，若∠BAC=a，求∠DCE的大小．(用含a的代數式表示).

（3）當DE與△ABC的邊所在的直線垂直，且∠BAC=40°時，請借助圖②，直接寫出∠CED的大小.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) ∠DCE=180°-a;(3) 20°或50°;

【解析】

（1）由旋轉及角的和差可得∠BAD=∠CAE，結合AD=AE，AB=AC，由SAS可證△BAD≌△CAE；

（2）由等腰三角形知∠ABC=∠ACB= (180°-a)，根據全等知∠ABD=∠ACE= (180°-a)，由∠DCE=∠ACB+∠ACE可得答案；

（3）分點D在線段BC和線段BC的延長線上兩種情況討論即可.

（1）由旋轉，得∠DAE=∠BAC，AD=AE，

∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC

∴∠BAD=∠CAE

∵AB=AC

∴△BAD≌△CAE(SAS)；

（2）∵∠BAC=α，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB= (180°-a)，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠B=(180°-a)，

∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a；

（3）①當點D在線段BC 上時，如圖所示：

此時DE⊥AC，則∠CFE=90°，連接CE，

∵AB=AC，∠BAC=40°，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠ABC=70°，

∴∠CED=90°-∠ACE=90°-70° =20°；

②當點D在線段BC延長線上時，如圖所示：

此時DE⊥BC，則∠EDB=90°，連接CE，

∵AB=AC，∠BAC=40°，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠ABC=70°，

∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-70°-70° =40°；

∴∠CED=90°-∠ECD=90°-40°=50°；

故∠CED為20°或50°.