Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+x﹣4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）連接BC，P是線段BC上方拋物線上的一動點，過點P作PH⊥BC于點H，當PH長度最大時，在△APB內部有一點M，連接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．

（2）若點D是OC的中點，將拋物線y＝x2+x﹣4沿射線AD方向平移個單位得到新拋物線y′，C′是拋物線y′上與C對應的點，拋物線y'的對稱軸上有一動點N，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使得C′、N、B、S為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM+BM+PM＝；（2）存在，點S的坐標為：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．

【解析】

（1）待定系數法求直線BC解析式，設點P橫坐標為m，用含m的代數式表示PQ，再根據PH與PQ的關系得到PH最大時，m的值，將△PMB繞點B順時針旋轉120°得△P′M′B，連接MM′，過點P′作P′R⊥x軸于點R，線段AP′即為AM+BM+PM的最小值；

（2）C′、N、B、S為頂點的四邊形是矩形可以根據C′B分別作為矩形對角線或邊分類進行討論：①當C′B為矩形對角線；②當C′B為矩形的邊，C′B⊥C′N時；③當C′B為矩形的邊，C′B⊥BN時．先求出點N坐標后再根據平移規律求S坐標．

（1）在拋物線y＝﹣x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，

∴C(0，﹣4)．

令y＝0，得＝﹣x2+x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4，

∴A(，0)，B(4，0)，

∴BC＝＝8．

如圖1，

過點P作PQ⊥x軸于點E交BC于點Q，則PQ∥y軸，

∴∠PQH＝∠BCO，

∵PH⊥BC，

∴∠PHQ＝∠BOC＝90°，

∴△PQH∽△BCO，

∴＝＝＝，∴PH＝PQ，

設直線BC解析式為y＝kx+b，將B(4，0)，C（0，﹣4）代入得，解得

∴直線BC解析式為y＝x﹣4，

設P(m，+m﹣4)，Q(m，m﹣4)，則PQ＝+m，

∵＜0，0＜m＜4，

∴當m＝2時，PQ有最大值，此時PH＝PQ有最大值，

∴P(2，2)，

將△PMB繞點B順時針旋轉120°得△P′M′B，連接MM′，過點P′作P′R⊥x軸于點R，

∵tan∠PBE＝＝＝，∴∠PBE＝30°，

∴∠P′BR＝180°﹣120°﹣30°＝30°，P′B＝PB＝4，

則P′(6，2)，AP′＝＝，

∴AM+BM+PM＝AM+MM′+PM≥AP′＝；

（2）存在．如圖2，設N(，n)，

∵D(0，﹣2)，∴AD＝＝，

∴拋物線y＝﹣x2+x﹣4沿射線AD方向平移個單位實際是向左平移個單位，向下平移2個單位，

∴C′(﹣，﹣6)，新拋物線y′＝，

①當C′B為矩形對角線，點N在C′B下方時，易求直線C′B解析式為y＝x﹣，

∴矩形對角線交點坐標為(，﹣3)，

∵NS＝C′B＝，

∴N1 (，﹣3﹣)，S1 (，﹣3+)，

N2 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，

②當C′B為矩形的邊，C′B⊥C′N時，由C′N2+C′B2＝BN2可得：

+(﹣6﹣n)2++(﹣6﹣0)2

＝+(0﹣n)2，

解得：n＝﹣∴N3(，﹣)，

∵C′N∥BS，

∴S3(，)；

③當C′B為矩形的邊，C′B⊥BN時，由BN2+C′B2＝C′N2可得：

+(n﹣0)2++(﹣6﹣0)2

＝+(﹣6﹣n)2，

解得：n＝

∴N4(，)．

∵BN∥C′S，

∴S4(，)；

綜上所述，點S的坐標為：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．