Question

【題目】已知如圖，△ABC中AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B、M兩點的⊙O交BC于G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當BC=6，cosC=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4.8

【解析】

試題分析：（1）連接OM．根據OB=OM，得∠1=∠3，結合BM平分∠ABC交AE于點M，得∠1=∠2，則OM∥BE；根據等腰三角形三線合一的性質，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結論；

（2）設圓的半徑是r．根據等腰三角形三線合一的性質，得BE=CE=3，再根據解直角三角形的知識求得AB=12，則OA=12﹣r，從而根據平行線分線段成比例定理求解．

試題解析：（1）連接OM．

∵OB=OM，

∴∠1=∠3，

又BM平分∠ABC交AE于點M，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BE．

∵AB=AC，AE是角平分線，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE與⊙O相切；

（2）設圓的半徑是r．

∵AB=AC，AE是角平分線，

∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，

又cosC=，

∴AB=BE÷cosB=12，則OA=12﹣r．

∵OM∥BE，

∴，

即，

解得r=2.4．

則圓的直徑是4.8．