Question

17．探索與研究
知識鏈接：
已知，點D是△ABC外接圓上的一點（不與點A、B重合）．D₁、D₂為平面內(nèi)任意點．
①如圖①，當點C與D、D₁、D₂在直線AB同側(cè)時，在邊AB所對的∠D、∠D₁、∠D₂三個角中，唯有∠D=∠C．
②如圖②，當點C與D、D₁、D₂在直線AB兩側(cè)時，在邊AB所對的∠D、∠D₁、∠D₂三個角中，唯有∠D與∠C互補．
逆向思維：
已知，⊙O是△ABC的外接圓，若△ABC的某邊所對的∠D與△ABC該邊所對的內(nèi)角相等或互補，則點D在該三角形的外接圓上．（注：該結(jié)論在解答以下題目時可直接使用，無需證明）
遷移應(yīng)用：
（1）如圖③，四邊形ABCD中∠ACB=60°，請用直尺和圓規(guī)在四邊形ABCD的邊上確定點E的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），使∠AEB=60°．若有不同的位置，請用E₁、E₂…區(qū)分．
（2）如圖④，AB=AD，AE∥BD，∠ECA=∠CDB，求證：點D在△ACE的外接圓上．
（3）如圖⑤，在平面直角坐標系中，拋物線y=-ax²+3ax+4a（a＞0，a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點C，交x軸于點A、B（A點在B點左側(cè)），頂點為D．拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點P的坐標（可用a的代數(shù)式表示），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 逆向思維：由知識鏈接可知若△ABC的某邊所對的∠D與△ABC該邊所對的內(nèi)角 相等或互補．
遷移應(yīng)用：（1）如圖③中，作△ABC的外接圓交CD于E₁，交AD于E₂，點E₁、E₂即為所求．
（2）只要證明∠AEC=∠ADC，即可推出點D在△AEC的外接圓上．
（3）分兩種情形討論①作△ABC的外接圓⊙O′與對稱軸交于點P，此時∠BPC=∠BAC滿足條件．②把△ABC沿BC翻折得到△A′BC，設(shè)△A′BC的外接圓的圓心為O″，⊙O″交對稱軸由P′，則∠BP′C=∠A′=∠BAC．分別求解即可．

解答 逆向思維：解：由知識鏈接可知若△ABC的某邊所對的∠D與△ABC該邊所對的內(nèi)角 相等或互補，
則點D在該三角形的外接圓上．
故答案為相等或互補．
遷移應(yīng)用：（1）解：如圖③中，作△ABC的外接圓交CD于E₁，交AD于E₂，點E₁、E₂即為所求．


（2）證明：如圖④中，設(shè)AD與EC交于點O．

∵AD=AB，
∴∠ADB=∠B，
∵AE∥BD，
∴∠EAD=∠ADB，
∴∠EAD=∠B，
∵∠ECA=∠CDB，
∠ACD=∠ECA+∠ECD=∠B+∠CDB，
∴∠ECD=∠B，
∴∠EAD=∠ECD，
∵∠EOA=∠DOC，
∴∠AEC=∠ADC，
∴點D在△AEC的外接圓上．

（3）解：如圖⑤中，

①作△ABC的外接圓⊙O′與對稱軸交于點P，此時∠BPC=∠BAC滿足條件．
∵C（0，4a），B（4，0），
∴直線BC的解析式為y=-ax+4a，線段BC的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{a}$x+2a-$\frac{2}{a}$，
∴O′（$\frac{3}{2}$，2a-$\frac{1}{2a}$），△ABC的外接圓的半徑=$\sqrt{\frac{25}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$，
∴P[$\frac{3}{2}$，$\sqrt{\frac{25}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$-2a+$\frac{1}{2a}$]．
②把△ABC沿BC翻折得到△A′BC，設(shè)△A′BC的外接圓的圓心為O″，⊙O″交對稱軸由P′，則∠BP′C=∠A′=∠BAC，點O′與O″關(guān)于直線BC對稱，
易知O″（$\frac{5}{2}$，2a+$\frac{1}{2a}$），作O″K⊥對稱軸于K，
在Rt△P′O″K中，P′K=$\sqrt{\frac{25}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{21}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$，
∴P′[$\frac{3}{2}$，2a+$\frac{1}{2a}$+$\sqrt{\frac{21}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$]．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為P[$\frac{3}{2}$，$\sqrt{\frac{25}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$-2a+$\frac{1}{2a}$]或[$\frac{3}{2}$，2a+$\frac{1}{2a}$+$\sqrt{\frac{21}{4}+（2a-\frac{1}{2a}）^{2}}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、圓周角定理、軸對稱圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識點．本題解題技巧要求高，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求，以BC為對稱軸構(gòu)造△A′BC是解題的關(guān)鍵．