Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP＝AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍得到∠AOC的大小，再根據邊角關系證明∠PAO是直角，從而證明出PA是⊙O的切線（2）要求DH的長，先根據已知條件證明△CAD是直角三角形，進而可以得到結果.

（1）連接AO

∵ 在⊙O中，∠B＝60° ∴ ∠AOC＝2∠B＝120°

∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝60°

∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠OAC＝30°

∵AP＝AC ∴∠APC＝∠ACO＝30°

∴∠PAO＝180°－∠AOD－∠APC＝90°

∵點A在⊙O上 ∴PA是⊙O的切線．

（2）連接AD

∵ 在⊙O中，OH⊥AC

∴AH＝HC

∵ 在⊙O中，DC為直徑

∴∠DAC＝90°

∵ AH＝HC，OD＝OC

∴OH是△CAD的中位線

∴AD＝2OH＝2

∵在Rt△OCH中 ∴tan∠OCH＝ ∴HC＝ ∴AH＝CH＝

∵在Rt△HAD中 ∴HD＝＝.