Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P，Q兩點相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設△CPQ的面積為S1 ， △ABC的面積為S2 ， 在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設x秒后P、Q兩點相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點相距25cm

（2）

解：設y秒后△PCQ與△ABC相似，

當△PCQ∽△ACB時， = ，即 = ，

解得，y= ，

當△PCQ∽△BCA時， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似

（3）

解：△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運動10秒或15秒時，S1：S2=2：5

【解析】（1）設x秒后P、Q兩點相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據相似三角形的性質列出關系式，解方程即可；（3）用t分別表示出CP、CQ，根據題意列出方程，解方程即可．