Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設＝λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長．

（2）連接EG，若EG⊥AF，

①求證：點G為CD邊的中點．

②求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）①見解析；②λ＝

【解析】

（1）根據AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據正方形的性質，可以得到AE的長，再根據平行線的性質和角平分線的性質，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；

（2）①要證明點G為CD邊的中點，只要證明△ADG≌△FGC即可，然后根據題目中的條件，可以得到△ADG≌△FGC的條件，從而可以證明結論成立；

②根據題意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．

解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，

∴BE＝EC＝1，

∴AE＝＝，

∴EF＝，

∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；

（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

，

∴△ADG≌△FCG（AAS），

∴DG＝CG，

即點G為CD的中點；

②設CD＝2a，則CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴，

∴，

∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，

∴λ＝．