Question

【題目】問題提出

（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝ °．

類比探究

（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

拓展延伸

（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結論；

（2）也可以通過證明≌，得出結論，和（1）的思路完全一樣；

（3）當∠ABC＝∠AMN時，∽，利用相似的性質得到，又根據∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．

（1）證明：∵、是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在和中，

，
∴≌（SAS），
∴∠ABC=∠ACN；

∵是等邊三角形

∴∠ABC=60°

∴∠ACN=∠ABC=60°．

（2）結論∠ACN＝60°仍成立．

理由如下：∵、都是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴≌，

∴∠ACN＝∠ABM＝60°．

（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．

理由如下：

∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，

∴∠BAC＝∠MAN，

∴∽，

∴．

又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴∽，

∴∠ABC＝∠ACN．