Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，點D為射線BC上一點，聯結AD，過點B作BE⊥AD分別交射線AD、AC于點E、F，聯結DF，過點A作AG∥BD，交直線BE于點G．

（1）當點D在BC的延長線上時，如果CD＝2，求tan∠FBC；

（2）當點D在BC的延長線上時，設AG＝x，S△DAF＝y，求y關于x的函數關系式（不需要寫函數的定義域）；

（3）如果AG＝8，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，則tan∠FBC＝tan∠DAC＝；

（2）由條件可得∠AGF＝∠CBF，可得，可用x表示CF和AF的長，求出CD，則S△DAF＝，可用x表示結果；

（3）分兩種情況，①當點D在BC的延長線上時，②當點D在BC的邊上時，可求出AE長AD的長，則DE＝AD﹣AE可求出．

解：

（1）∵∠ACB＝90，BC＝4，sin∠ABC＝，

∴設AC＝3x，AB＝5x，

∴（3x）2+16＝（5x）2，

∴x＝1，

即AC＝3，

∵BE⊥AD，

∴∠AEF＝90，

∵∠AFE＝∠CFB，

∴∠DAC＝∠FBC，

∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝；

（2）∵AG∥BD，

∴∠AGF＝∠CBF，

∴tan∠AGF＝tan∠CBF，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵∠EAF＝∠CBF，

∴，

∴，

∴S△DAF＝；

（3）①當點D在BC的延長線上時，如圖1，

∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，

∴，

∴AF＝2CF，

∵AC＝3，

∴AF＝2，CF＝1，

∴，

∴，

設AE＝x，GE＝4x，

∴x2+16x2＝82，

解得x＝，

即AE＝，

同理tan∠DAC＝tan∠CBF，

∴，

∴DC＝，

∴AD＝，

∴，

②當點D在BC的邊上時，如圖2，

∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，

∴，

∴AF＝6，

∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，

∴cos∠EAF＝cos∠ABC，

∴，

∴，

同理，

∴，

∴，

∴DE＝AE﹣AD＝，

綜合以上可得DE的長為或；