Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為xcm/s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t＝ s時，四邊形EBFB'為正方形；

（2）當x為何值時，以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等？

（3）是否存在實數t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5；（2）3或4；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）利用正方形的性質，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）分兩種情況討論，①△EBF≌△FCG，②△EBF≌△GCF，分別根據對應邊相等列等式計算即可；

（3）本問為存在型問題．假設存在，則可以分別求出在同一條件下的t值，但它們互相矛盾，所以不存在．

解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=10-t，BF=3t，

即：10-t=3t，

解得t=2.5；

（2）分兩種情況討論：

①△EBF≌△FCG，

則EB=FC，BF=CG，

∴，

解得：，

②當△EBF≌△GCF時，

則EB=GC，BF=FC，

∴，

解得：，

綜上，當x=3或4時，以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等；

（3）假設存在實數t，使得點B′與點O重合．

如圖，過點O作OM⊥BC于點M， ON⊥AB于點N，

則在Rt△OFM中，，，

∴，

即，

解得：

在Rt△OEN中，，，，

∴，

即，

解得：，

∵，

∴假設不成立，

即不存在實數t，使得點B'與點O重合．