Question

【題目】如圖，正方形的邊長為6個單位長度，點是邊的中點，點從點出發，以1個單位/秒的速度按的方向運動，再次回到點結束運動，設點運動的時間為秒．

（1）如圖1，若為直角三角形，求的值；

（2）如圖2，若點在上，且，求的度數；

（3）如圖3，點是對角線的三等分點，且，若，直接寫出滿足條件的點的個數，并注明這些點分別在正方形的哪條邊上．

Answer 1

【答案】（1）4.5或12或21；（2）135°；（3）有兩個，分別在和上

【解析】

（1）分當點F在CD上、AD上以及和點B重合時三種情況分別求出相應的t值；

（2）根據題意求出DF和CF，EF，延長至點，證明，得到，，再證明，得到對應角相等，最后根據可得結果；

（3）分點F在正方形各邊上的情況，分別求出的最值，即可得出結果．

解：（1）①當點在上，，

則，

∴，

∴，

解之：，

②當點在上，，，

③當點與點重合，，，

（2）解：∵，

∴，，

在中，，

延長至點，使，

則，

在與中，

，

∴，

∴，，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，，，

又∵在中，，

∴；

（3）滿足條件的點有兩個，分別在邊和上.

理由是：當點F在AB上時，如圖，

E′為點E關于AB的對稱點，GH⊥BC于H，

∵GH∥CD，

∴，

可得GH=BH=4，

∴的最小值為E′G=＞8，

即AB上沒有符合要求的F；

當點F在AD上時，如圖，

E′為點E關于AD的對稱點，

同理可得：KG=AB=2，HG=6+2=8＜E′G，

∴此時的最小值為E′G的長，大于8，

∴AD上不存在符合要求的F；

當點F在CD上時，如圖，

E′為點E關于CD的對稱點，GH⊥BC于H，

同理可得：GH=BH=4，HC=2，

∴HE′=5，

此時的最小值為E′G=＜8，

當點F在點D處時，=ED+GD==，

∴CD上存在符合要求的點F；

當點F在BC上時，GH⊥BC于H，

若點F與點E重合，

同理可知GH=4=BH，EH=BH-BE=1，

則=GE=＜8，

若點F與點B重合，

同理可知BG=，BE=3，

則=BE+BG==8，

故BC上存在符合要求的點F；

綜上：滿足條件的點有兩個，分別在和上.