Question

【題目】如圖1，直線AB交x軸于點A（4 ，0），交y軸于點B（0 ，4），

（1）如圖，若C的坐標為（-1, ，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標；

（2）在（1）的條件下，如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；

（3）如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連結MD，過點D作DN⊥DM交x軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子的值是否發生改變？如發生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值.

Answer 1

【答案】（1）P（0 ，1）；（2）證明見解析；（3）4.

【解析】試題分析：（1）利用坐標的特點，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出結論；
（2）過O分別做OM⊥CB于M點，ON⊥HA于N點，證出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得結論；
（3）連接OD，則OD⊥AB，證得△ODM≌△ADN，利用三角形的面積進一步解決問題．

試題解析：（1）由題得，OA=OB=4.

∵AH⊥BC于H，

∴∠OAP＋∠OPA=∠BPH＋∠OBC=90°，

∴∠OAP=∠OBC

在△OAP和△OBC中，

∴△OAP≌△OBC（ASA），

∴OP=OC=1，則點P（0 ，1）.

（2）過點O分別作OM⊥CB于M點，ON⊥HA于N點，

在四邊形OMHN中 ，∠MON=360°-3×90°=90°，

∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP.

在△COM和△PON中，

，

∴△COM≌△PON（AAS），

∴OM=ON，

∵HO平分∠CHA，

∴；

(3) 的值不發生改變， .

理由如下：

連結OD，則OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°，

∴OD=AD，

∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA，

在△ODM和△AND中，

，

∴△ODM≌△AND（ASA），

∴

∴，

∴