Question

已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=

k

x

上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標是（-8，0），求A、B兩點坐標及k的值；
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

（1）∵D（-8，0），
∴B點的橫坐標為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，
∴B點坐標為（-8，-2），
而A、B兩點關于原點對稱，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S_矩形DCNO=2mn=2k，
∴S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直線y=

1

4

x及雙曲線y=

4

x

，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
設直線CM的解析式是y=ax+b，
由C、M兩點在這條直線上，得

-4a+b=-2 2a+b=2

，
解得a=b=

2

3

，
∴直線CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

；

（3）如圖1，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，
設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為-a，
于是p=

MA

MP

=

A1M1

M1O

=

a-m

m

，
同理q=

MB

MQ

=

m+a

m

，
∴p-q=

a-m

m

-

m+a

m

=-2．
本題也可用相似求解，如圖，酌情給分．