Question

【題目】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉至矩形EGCF（其中E、G、F分別與A、B、D對應）．

（1）如圖1，當點G落在AD邊上時，直接寫出AG的長為　 　；

（2）如圖2，當點G落在線段AE上時，AD與CG交于點H，求GH的長；

（3）如圖3，記O為矩形ABCD對角線的交點，S為△OGE的面積，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4﹣2；（2）；（3）4﹣≤S≤4+

【解析】

（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解決問題；

（2）首先證明AH＝CH，設AH＝CH＝m，則DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根據CH2＝CD2+DH2，構建方程求出m即可解決問題；

（3）如圖，當點G在對角線AC上時，△OGE的面積最小，當點G在AC的延長線上時，△OE′G′的面積最大，分別求出面積的最小值，最大值即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，

∵AB＝CD＝2，

∴DG＝＝＝2，

∴AG＝AB﹣BG＝4﹣2，

故答案為:4﹣2．

（2）如圖2中，

由四邊形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，

∵點G在線段AE上，

∴∠AGC＝90°，

∵CA＝CA，CB＝CG，

∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．

∴∠ACB＝∠ACG，

∵AB∥CD

∴∠ACG＝∠DAC，

∴∠ACH＝∠HAC，

∴AH＝CH，設AH＝CH＝m，則DH＝AD﹣AH＝5﹣m，

在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，

∴m2＝22+（4﹣m）2，

∴m＝，

∴AH＝，GH＝＝＝．

（3）在Rt△ABC中，,，

由題可知，G點在以C點為圓心，BC為半徑的圓上運動，且GE與該圓相切，因為GE=AB不變，所以O到直線GE的距離即為△OGE的高，當點G在對角線AC上時，OG最短，即△OGE的面積最小，最小值＝×OG×EG＝×2×（4﹣）＝4﹣．

當點G在AC的延長線上時，OG最長，即△OE′G′的面積最大．最大值＝×E′G′×OG′＝×2×（4+）＝4+.

綜上所述，4﹣≤S≤4+．