Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點E，∠D＝2∠A．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）求證：DE＝DC；

（3）若OD＝5，CD＝3，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1））連接OC．證∠D＝∠COB．由OD⊥AB，得∠COB＋∠COD＝90°．可證∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°；

（2）由∠DCE＋∠ACO＝90°，∠AEO＋∠A＝90°和∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，可得∠DEC＝∠DCE ，即DE＝DC．

（3）先求得OC＝4，AB＝2OC＝8， OE＝OD－DE＝2，再證△AOE∽△ACB，得，

設AC＝x，則BC＝ ，

在△ABC中，由AC2＋BC2＝AB2，求得x＝.

證明：（1）連接OC．

在⊙O中，OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，故∠COB＝2∠A．

又∵∠D＝2∠A，

∴∠D＝∠COB．

又∵OD⊥AB，∴∠COB＋∠COD＝90°．

∴∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°．

即OC⊥DC，又點C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線．

（2）∵∠DCO＝90°，∴∠DCE＋∠ACO＝90°．

又∵OD⊥AB，∴∠AEO＋∠A＝90°．

又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，

∴∠DEC＝∠DCE

∴DE＝DC．

（3）∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，

∴OC＝4，

∴AB＝2OC＝8，又DE＝DC，OE＝OD－DE＝2

在△AOE與△ACB中，

∠A＝∠A，∠AOE＝∠ACB＝90°

∴△AOE∽△ACB，

∴，

設AC＝x，則BC＝

在△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，求得x＝

所以AC的長為．