Question

【題目】如圖1，已知□ABCD，AB//x軸，AB=6，點A的坐標為（1，-4），點D的坐標為（-3,4），點B在第四象限，點P是□ABCD邊上的一個動點.

（1）若點P在邊BC上，PD=CD，求點P的坐標.

（2）若點P在邊AB，AD上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-1上，求點P的坐標.

（3）若點P在邊AB，AD，CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖2，過點P作y軸的平行線PM，過點G作x軸的平行線GM，它們相交于點M，將△PGM沿直線PG翻折，當點M的對應點落在坐標軸上時，求點P的坐標（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（3,4）.（2）點P的坐標為（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.（3）點P的坐標為（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.

【解析】試題（1）點P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合；

（2）首先要分點P在邊AB，AD上時討論，根據“點P關于坐標軸對稱的點Q”，即還要細分“點P關于x軸的對稱點Q和點P關于y軸的對稱點Q”討論，根據關于x軸、y軸對稱點的特征（關于x軸對稱時，點的橫坐標不變，縱坐標變成相反數；關于y軸對稱時，相反；）將得到的點Q的坐標代入直線y=x-1，即可解答；

（3）在不同邊上，根據圖象，點M翻折后，點M’落在x軸還是y軸，可運用相似求解．

試題解析：解：（1）∵CD=6，∴點P與點C重合，∴點P的坐標是（3，4）．

（2）①當點P在邊AD上時，由已知得，直線AD的函數表達式為： ，設P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．

若點P關于x軸對稱點Q1（a，2a+2）在直線y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此時P（-3，4）．

若點P關于y軸對稱點Q2（-a，-2a-2）在直線y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時P（-1，0）．

②當點P在邊AB上時，設P（a，-4），且1≤a≤7．

若點P關于x軸對稱點Q3（a，4）在直線y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此時P（5，-4）．

若點P關于y軸對稱點Q4（-a，-4）在直線y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此時P（3，-4）．

綜上所述，點P的坐標為（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）因為直線AD為y=-2x-2，所以G（0，-2）．

①如圖，當點P在CD邊上時，可設P（m，4），且-3≤m≤3，則可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，則P（ -，4）或（ ，4）；

②如下圖，當點P在AD邊上時，設P（m，-2m-2），則PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，則P（-，3）；

如下圖，當點P在AB邊上時，設P（m，-4），此時M′在y軸上，則四邊形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，則P（2，-4）．

綜上所述，點P的坐標為（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．