Question

（1）已知a₁，a₂，a₃為三個整數，且a₁≤a₂≤a₃，三個數中的每一數均為其它兩數的乘積，求所有滿足條件的三數組（a₁，a₂，a₃）．
（2）如果a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆為6個整數，且a₁≤a₂≤a₃≤a₄≤a₅≤a₆，六個數中任一個數均為其它五個數中某四個數的乘積，那么滿足上述條件的數組（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）共有多少組？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知直接得出三式相乘a₁a₂a₃=（a₁a₂a₃）²，進而分析得出符合要求的值；
（2）首先取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的絕對值并按大小順序排列，設為0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，根據若b₁=0，b₁≠0，
進行分析得出即可．

解答：解：（1）由題意知a₁=a₂a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₁a₂，三式相乘得a₁a₂a₃=（a₁a₂a₃）²，
∴a₁a₂a₃=0或a₁a₂a₃=1，
即a²₁=0或a²₁=1，
∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1，
當a₁=0時，a₂=a₃=0，
當a₁=1時，a₂=a₃=1，
當a₁=-1時，a₂=-1，a₃=-1，
∴共有三個這樣的三數組（0，0，0），（1，1，1），（-1，-1，-1）．

（2）取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的絕對值并按大小順序排列，
不妨設為0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，
則b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆也滿足題意要求．
①若b₁=0，則b₂，b₃，b₄，b₅，b₆中至少有一個為0，即b₂=0．
由于b₁=b₂=0，∴b₃=b₄=b₅=b₆=0，
∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=0
②若b₁≠0，則b₁=b₂b₃b₄b₅或b₁=b₃b₄b₅b₆≥b₂b₃b₄b₅
∴b₁≥b₂b₃b₄b₅
又b₆=b₂b₃b₄b₅或b₆=b₁b₂b₃b₄≤b₂b₃b₄b₅
∴b₆≤b₂b₃b₄b₅，即b₁≥b₆?b₁=b₆．
∴b₁=b₂=b₃=b₄=b₅=b₆，b₁=b⁴₁，b₁=1即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的絕對值均為1，它們只能是+1或?-1．
（i）a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1符合條件．
（ii）若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中有-1，則最少有2個-1，最多有5個-1．
即（-1，-1，1，1，1，1），（-1，-1，-1，1，1，1），（-1，-1，-1，-1，1，1），（-1，-1，-1，-1，-1，1）均符合條件．
∴符合條件的數組共有6組．

點評：此題主要考查了整數問題的綜合應用，利用特殊值法進行分析解決問題是數學中常用的一種數學思想，同學們熟練掌握．