Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y＝﹣x+b交y軸于點A（0，4），交x軸于點B．

（1）求直線AB的表達式和點B的坐標；

（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n．

①用含n的代數式表示△ABP的面積；

②當S△ABP＝8時，求點P的坐標；

③在②的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，點B的坐標為（4，0）；（2）①2n﹣4；②（2，6）；③6，4）．

【解析】

（1）把點A的坐標代入直線解析式可求得b＝4，則直線的解析式為y＝﹣x+4，令y＝0可求得x＝4，故此可求得點B的坐標；

（2）①由題l垂直平分OB可知OE＝BE＝2，將x＝2代入直線AB的解析式可求得點D的坐標，設點P的坐標為（2，n），然后依據S△APB＝S△APD+S△BPD可得到△APB的面積與n的函數關系式為S△APB＝2n﹣4；

②由S△ABP＝8得到關于n的方程可求得n的值，從而得到點P的坐標；

③如圖1所示，過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．設點C的坐標為（p，q），先證明△PCM≌△CBN，得到CM＝BN，PM＝CN，然后由CM＝BN，PM＝CN列出關于p、q的方程組可求得p、q的值；如圖2所示，同理可求得點C的坐標．

（1）∵把A（0，4）代入y＝﹣x+b得b＝4

∴直線AB的函數表達式為：y＝﹣x+4．

令y＝0得：﹣x+4＝0，解得：x＝4

∴點B的坐標為（4，0）．

（2）①∵l垂直平分OB，

∴OE＝BE＝2．

∵將x＝2代入y＝﹣x+4得：y＝﹣2+4＝2．

∴點D的坐標為（2，2）．

∵點P的坐標為（2，n），

∴PD＝n﹣2．

∵S△APB＝S△APD+S△BPD，

∴S△ABP＝PDOE+PDBE＝（n﹣2）×2+（n﹣2）×2＝2n﹣4．

②∵S△ABP＝8，

∴2n﹣4＝8，解得：n＝6．

∴點P的坐標為（2，6）．

③如圖1所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設點C（p，q）．

∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，

∴PC＝CB，∠PCM+∠MCB＝90°．

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC＝∠BNC＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°．

∴∠MPC＝∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM＝BN，PM＝CN．

∴，解得．

∴點C的坐標為（6，4）．

如圖2所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設點C（p，q）．

∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，

∴PC＝CB，∠PCM+∠MCB＝90°．

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC＝∠BNC＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°．

∴∠MPC＝∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM＝BN，PM＝CN．

∴，解得．

∴點C的坐標為（0，2）舍去．

綜上所述點C的坐標為（6，4）．