Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+n的頂點為P，直線y=分別交x，y軸于點M，N．

（1）若點P在直線MN上，求n的值；

（2）是否存在過（0，﹣2）的直線與拋物線交于A，B兩點（A點在B點的下方），使AB為定長，若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，當四邊形MABN的周長最小時，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) n=;(2) 存在直線y=x﹣2，使AB為定長，且AB=;(3) n=1

【解析】

（1）利用配方法求出頂點P的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線為y=kx﹣2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用k，n表示線段AB，構(gòu)建方程求出k即可解決問題；

（3）由題意：M（﹣3，0），N（0，），如圖，平移AB，使A點于M點重合，則B的對應(yīng)點G剛好落在y軸上，且G（0，3）．作點G關(guān)于直線y=x﹣2的對稱點H（5，﹣2）．連接NH交直線y=x﹣2為點R（2，0）．可證明當點B與R重合時，四邊形MABN的周長最小．利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（1）∵y=﹣x2+2nx﹣n2+n=﹣（x﹣n）2+n，∴頂點P（n，n），把P（n，n）代入，得n=．

（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線為y=kx﹣2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立，消元得x2+（k﹣2n）x+n2﹣n﹣2=0，∴，∴，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2），∴（y1﹣y2）2=k2（x1﹣x2）2，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（1+k2）[k2+8+（4﹣4k）n]．

∵要使AB為定長，則AB2的值與n的取值無關(guān)，∴4﹣4k=0，∴k=1，∴存在直線y=x﹣2，使AB為定長，且AB=．

（3）由題意：M（﹣3，0），N（0，），如圖，平移AB，使A點于M點重合，則B的對應(yīng)點G剛好落在y軸上，且G（0，3）．作點G關(guān)于直線y=x﹣2的對稱點H（5，﹣2）．

連接NH交直線y=x﹣2為點R（2，0）．

可證明當點B與R重合時，四邊形MABN的周長最小．

將 R（2，0）代入y=﹣（x﹣n）2+n中，得：n1=1，n2=4（舍去），∴n=1．