Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D作⊙O的切線交BC于點E，連接OE

(1)證明OE∥AD；

(2)①當∠BAC=　 　°時，四邊形ODEB是正方形．

②當∠BAC=　 　°時，AD=3DE．

Answer 1

【答案】 (1)見解析 （2）①∠BAC=45°； ②當∠BAC=30°時，AD=3DE

【解析】

連接OD，根據已知條件易證Rt△ODE≌Rt△OBE得到∠BOE=∠DOB，根據圓周角定理可得∠A=∠DOB，即可得∠BOE=∠A，根據平行線的判定證明OE∥AD；（2）①根據正方形的性質和平行線的性質可得結論；②作OF⊥AD于F，根據垂徑定理和銳角三角函數的知識計算即可得結論．

（1）連接OD，

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

在Rt△ODE和Rt△OBE中，

，

∴Rt△ODE≌Rt△OBE，

∴∠BOE=∠DOB，

∵∠A=∠DOB，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AD；

（2）①當四邊形ODEB是正方形時，BO=BE，

∴∠BOE=45°，

∵OE∥AD，

∴∠BAC=45°；

②當∠BAC=30°時，AD=3DE，

證明：作OF⊥AD于F，

由垂徑定理可知，AF=DF=AD，

∵∠BAC=30°，

∴∠ODF=∠DOE=30°，

∴OD==AD，

OD==DE，

∴AD=3DE．