Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c．點E是AC邊上的一個動點（點E與點A、C不重合），點F是AB邊上的一個動點（點F與點A、B不重合），連接EF．
（1）當a、b滿足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式組

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整數(shù)解時，試說明△ABC的形狀；
（2）在（1）的條件得到滿足的△ABC中，若EF平分△ABC的周長，設(shè)AE=x，y表示△AEF的面積，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把a²+b²-16a-12b+100=0整理為完全平方形式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a、b的值；再解不等式組

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

求出c的值，進而判斷三角形的形狀；
（2）先由EF平分△ABC的周長，得到AE+AF的和為12，再利用三角函數(shù)求出AE邊上的高DF=0.8（12-x），然后根據(jù)三角形的面積公式得到△AEF的面積，進而求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0，
∴a-8=0，b-6=0，
∴a=8，b=6．
∵

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

，
解得-4≤x＜11，
∵c是不等式組

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整數(shù)解，
∴c=10．
∵8²+6²=10²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如圖，過點F作FD⊥AC于D．
∵EF平分△ABC的周長，
∴AE+AF=

1

2

（a+b+c）=12，
∵AE=x，
∴AF=12-x（2＜x＜6）．
∵sinA=

a

c

=0.8，
∴DF=sinA•AF=0.8（12-x）．
∴△AEF的面積=

1

2

×AE×DF=

1

2

x•0.8（12-x）=-0.4x²+4.8x（2＜x＜6）．

點評：本題主要考查了配方法，非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，一元一次不等式組的整數(shù)解，三角形的周長與面積，涉及的知識點較多，難度中等，注意利用三角函數(shù)求出所需線段的長度是解題的關(guān)鍵．