Question

【題目】（1）拋物線y＝ax2﹣2x+2經過點E（2，2），其頂點為C點．

①求拋物線的解析式，并直接寫出C點坐標；

②將直線y＝x沿y軸向上平移b（b＞0）個單位長度交拋物線于A、B兩點，若∠ACB＝90°，求b的值．

（2）是否存在點D（1，m），使拋物線y＝x2﹣x+上任意一點P到x軸的距離等于P點到點D的距離，若存在，請求點D的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣2x+2， C（1，1）；②b＝1；（2存在，D（1，2）

【解析】

（1）①將點E坐標代入解析式可求解；

②如圖1，過點C作MN⊥y軸，過點A作AF⊥MN，過點B作BH⊥MN，設平移后直線解析式為：y＝x+b，由根與系數關系可得xA+xB＝3，xAxB＝2﹣b，通過證明△ACF∽△CBH，可得，可求b的值；

（2）設P（a，b），由題意可得b＝PD，由兩點距離公式可求解．

（1）①∵拋物線y＝ax2﹣2x+2經過點E（2，2），

∴2＝4a﹣4+2，

∴a＝1，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x+2，

∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，

∴頂點坐標為（1，1）；

②如圖1，過點C作MN⊥y軸，過點A作AF⊥MN，過點B作BH⊥MN，

設平移后直線解析式為：y＝x+b，

∴，

∴x2﹣3x+2﹣b＝0，

設A（xA，yA），B（xB，yB），則xA+xB＝3，xAxB＝2﹣b，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCH+∠ACF＝90°，且∠BCH+∠HBC＝90°，

∴∠HBC＝∠ACF，且∠BHC＝∠AFC＝90°，

∴△ACF∽△CBH，

∴，

∴，

∴yAyB+xAxB+2＝yA+yB+xA+xB，

∴（xA+b）（xB+b）+2﹣b+2＝xA+b+xB+b+3，

∴b2﹣b＝0，

∴b＝1，b＝0（舍去）

（2）設P（a，b），則b＝a2﹣a+，

由題可知，b＝PD，

∴b2＝（a﹣1）2+（m﹣b）2，

∴（4﹣2m）b+m2﹣4＝0，

∵任意一點P，

∴4﹣2m＝0，

∴m＝2，

∴D（1，2）．