Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線 y 2x 4 與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點.

（1）求 A 、 B 兩點的坐標；

（2）若點 M 為直線 y mx 上一點，且ABM 是等腰直角三角形，求 m 的值；

（3）過 A 點的直線 y kx 2k 交 y 軸負半軸于 P ，N 點的橫坐標為1，過 N 點的直線于點 M ，試探究 PM 與 PN 之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當m>0時，m的值為1或或；當m<0時，m的值為：-或-2；（3）

【解析】

（1）根據直線 y 2x 4 與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點，分別令y=0 ，x=0，求出即可；
（2）當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的值即可；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，同法求出M的值；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥x軸于N，MH⊥y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的值即可．
（3）設NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，求出H、G的坐標，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解:(1)y 2x 4 與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點
令y=0,則x=2; 令x=0,則y=4

(2) （i）當m＞0時，分三種情況：
①如圖1，

當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，
，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐標為（4，6），
代入y=mx得：m= ，
②如圖2，

當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐標為（6，2），m= ，
③如圖4，

當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，則△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
設M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是或或1；
（ii）當m＜0時，由（i）得：關于直線AB：y=-2x+4，
同理可得：m=-或-2；

(3)解:如圖,

設NM與x軸的交點為H,過M作軸于G,過H作軸,HD交MP于D點,連接ND,
由與x軸交于H點,
,
由與交于M點,
,
而,
為HG的中點,
,
又 N點的橫坐標為-1,且在上,可得N 的縱坐標為-k,同理P的縱坐標為,
平行于x軸，且N、D的橫坐標分別為-1、1
與D關于y軸對稱,
,
,