Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側，射線BA與射線CF相交于點G．

（1）若點D在線段BC上，如圖1．

①依題意補全圖1；

②判斷BC與CG的數量關系與位置關系，并加以證明；

（2）若點D在線段BC的延長線上，且G為CF中點，連接GE，AB=，則GE的長為_____，并簡述求GE長的思路．

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②BC=CG,理由見解析; (2)

【解析】試題分析: （1）①依題意補全圖形，如圖1所示，②判斷出△BAD≌△CAF即可；

（2）先判斷出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理計算即可．

試題解析:

（1）證明：①依題意補全圖形，如圖1所示，

②BC⊥CG，BC=CG；

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CG；

∵點G是BA延長線上的點，

BC=CG

（2）如圖，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CF；

∵AB=，BC=CD=CG=GF=2，

∴在Rt△AGH中，根據勾股定理得，AG=，

∴在Rt△AGH中，根據勾股定理的，DG=2，

∵AD=，

∴AH=，HG=，

∴GI=AD﹣HG=，

∴GE==

故答案為 ．