Question

【題目】如圖：在正方形ABCD中，點P、Q是CD邊上的兩點，且DP=CQ，過D作DG⊥AP于H，交AC、BC分別于E，G，AP、EQ的延長線相交于R.

（1）求證：DP=CG；

（2）判斷△PQR的形狀，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△PQR為等腰三角形，理由見解析．

【解析】

（1）正方形對角線AC是對角的角平分線，可以證明△ADP≌△DCG，即可求證DP=CG．

（2）由（1）的結論可以證明△CEQ≌△CEG，進而證明∠PQR=∠QPR．故△PQR為等腰三角形．

（1）證明：在正方形ABCD中，

AD＝CD，∠ADP＝∠DCG＝90°，

∠CDG＋∠ADH＝90°，

∵DH⊥AP，∴∠DAH＋∠ADH＝90°，

∴∠CDG＝∠DAH，

∴△ADP≌△DCG，

∵DP，CG為全等三角形的對應邊，

∴DP＝CG．

（2）△PQR為等腰三角形．

∵∠QPR＝∠DPA，∠PQR＝∠CQE，CQ＝DP，由（1）的結論可知

∴CQ＝CG，∵∠QCE＝∠GCE，CE＝CE，

∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE＝∠CGE，

∴∠PQR＝∠CGE，

∵∠QPR＝∠DPA，

∴∠PQR＝∠QPR，

所以△PQR為等腰三角形．