Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別是A(6，0）、B(0，2），在AB的右上方有一點C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形.

（1）若點C坐標為（x,y)，請在圖1中作一點C（點A除外），使x+y=6；

（2）設點C坐標為（x,y)，請在圖2中作一點C，使x+y的值最大，并求出x+y的最大值.

請利用沒有刻度的直尺和圓規作出符合條件的點C．（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）先以AB為直徑在AB上方作半圓，再在y軸正半軸截取OD=6，連接AD交半圓于點C，點C即為所求；（2）先以AB為直徑在AB上方作半圓，再作∠AOB的平分線OE，過AB的中點作OE的平行線交半圓于點C，點C即為所求；設x+y=m，則y=—x+m，m取最大值時，直線y=—x+m與半圓相切，切點為C，由題意得M的坐標 為（3，—1），由此即可求得m的最大值.

（1）①以AB為直徑在AB上方作半圓；

②在y軸正半軸截取OD=6，作直線AD交半圓于點C；

（2）①以AB為直徑在AB上方作半圓；

②作∠AOB的平分線OE；

③過AB的中點作OE的平行線交半圓于點C；

設x+y=m，則y=—x+m，m取最大值時，直線y=—x+m與半圓相切，

切點為C，由題意得M的坐標 為（3，—1），

∴MD=，MC=

∴FD=6+

∴.