Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F，且使DE始終與AB垂直.

(1)△BDF是什么三角形?請說明理由；

(2)設(shè)AD=x,CF=y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(不用寫出自變量x的取值范圍)

(3)當移動點D使EF∥AB時，求AD的長。

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）y=x1；（3）AD=.

【解析】

（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，從而可得到△BDF是等邊三角形．

（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再將CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的關(guān)系；

（3）當EF∥AB時，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=EF，EF=DF，代入計算即可求得AD的長．

(1)△BDF是等邊三角形，證明如下：

∵ED⊥AB,∠EDF=30°,∴∠FDB=60°，

∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴∠B=60°，

∴∠DFB=60°，

∴△BDF是等邊三角形。

(2)∵∠A=30°,∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2，

∵CF=y，

∴BF=1y，又△BDF是等邊三角形，

∴BD=BF=1y，

∴x=2(1y)=1+y，

∴y=x1；

(3)當EF∥AB時,∠CEF=30°,∠FED=∠EDA=90°，

∴CF=EF,EF=DF，

∵DF=BF=1y,

∴y= (1y),

∴y=，

∴x=y+1=,即AD=.