Question

【題目】已知：如圖所示，CD∥AN.

(1)用尺規(guī)作圖作出∠MAN的平分線，交CD于點(diǎn)P.(保留作圖痕跡)

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，若∠PAN＝15°，AC＝2，求點(diǎn)P到AM的距離.

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析；(2)點(diǎn)P到AM的距離為1.

【解析】

(1)用尺規(guī)作圖作出∠MAN的平分線，交CD于點(diǎn)P即可；

(2) 過點(diǎn)P作PE⊥AM于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可求出∠CAP=∠CPA，∠ECP的度數(shù)，根據(jù)等角對等邊可證CA=CP，最后利用30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求點(diǎn)P到AM的距離.

解：(1)以A為圓心，任意長度為半徑作弧，交AM、AN于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)之間的距離為半徑，作弧，兩弧交于一點(diǎn)Q，連接AQ并延長，交CD于P，如圖1所示：

射線AP即為所求作的圖形；

(2)如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥AM于點(diǎn)E，

∵AP 平分∠MAN，

∴，

∵CD∥AN，

∴∠CPA＝∠PAN，

∴∠CPA＝∠MAP，

∴CP＝AC＝2，

∵∠PAN＝15°，

∴∠MAN＝2∠PAN＝30°，

∵CD∥AN，

∴∠ECP＝∠MAN＝30°，

∵PE⊥AM，∴∠PEC＝90°，

∴=1，

∴點(diǎn)P到AM的距離為1.