Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：

①∠AOB＝90°+∠C；

②AE+BF＝EF；

③當∠C＝90°時，E，F分別是AC，BC的中點；

④若OD＝a，CE+CF＝2b，則S△CEF＝ab．

其中正確的是（　�。�

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據角平分線的定義和三角形內角和定理判斷①；根據角平分線的定義和平行線的性質判斷②；根據三角形三邊關系判斷③；根據角平分線的性質判斷④．

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，

∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB

＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB

＝180°﹣（180°﹣∠C）

＝90°+∠C，①正確；

∵EF∥AB，

∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，

∴∠FOB＝∠FBO，

∴FO＝FB，

同理EO＝EA，

∴AE+BF＝EF，②正確；

當∠C＝90°時，AE+BF＝EF＜CF+CE，

∴E，F不是AC，BC的中點，③錯誤；

作OH⊥AC于H，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴點O在∠C的平分線上，

∴OD＝OH，

∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正確．

故選：C．