Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P．像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特例探索

（1）①如圖1，當∠ABE＝45°，c＝2時，a＝　 　，b＝　 　；

②如圖2，當∠ABE＝30°，c＝4時，求a和b的值．

歸納證明

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發現的關系式．

（3）利用（2）中的結論，解答下列問題：

在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖4所示，求MG2+MH2的值．

Answer 1

【答案】（1）①2，2；② a＝2，b＝2；（2）關系為：a2+b2＝5c2，證明見解析；（3）5.

【解析】

（1）在圖1中，PB＝ABsin45°＝2＝PA，即可求解；同理可得：a＝2，b＝2；

（2）PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，PF＝PA＝csinα，PE＝csinα，則a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2，即可求解；

（3）證明：MG＝ME＝MB，MH＝MC，則MG2+MH2＝（MB2+MC2），即可求解．

解：如圖1、2、3、4，連接EF，則EF是△ABC的中位線，

則EF＝AB，EF∥AB，∴△EFP∽△BPA，

∴…①，

（1）在圖1中，PB＝ABsin45°＝2＝PA，

由①得：PF＝1，

b＝2BF＝2＝2＝a；

②同理可得：a＝2，b＝2；

（2）關系為：a2+b2＝5c2，

證明：如圖3，設：∠EAB＝α，

則：PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，

由①得：PF＝PA＝csinα，PE＝csinα，

則a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2＝c2×5[（sinα）2+（cosα）2]＝5c2；

（3）∵AE＝OE＝EC，AG∥BC，

∴AG＝BC＝AD，則EF＝BC＝AD，

同理HG＝AD，∴GH＝AD，

∴GH＝EF，

∵GH∥BC，EF∥BC，

∴HG∥EF，∴MG＝ME＝MB，

同理：MH＝MC，

則MG2+MH2＝（MB2+MC2）＝×5×BC2＝5．