Question

【題目】如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直線BE、DG交于H，且HEHB=4-2，BD、AF交于M，當E在線段CD（不與C、D重合）上運動時，下列四個結論：①BE⊥GD；②AF、GD所夾的銳角為45°；③GD=AM；④若BE平分∠DBC，則正方形ABCD的面積為4，其中結論正確的是______（填序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因為∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；②若以BD為直徑作圓，那么此圓必經過A、B、C、H、D五點，根據圓周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的結論也是正確的．③此題要通過相似三角形來解；由②的五點共圓，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據相似三角形的比例線段即可得到AM、DG的比例關系；④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中點；易證得△ABH∽△BCE，得BDBC=BEBH，即BC2=BEBH，因此只需求出BEBH的值即可得到正方形的面積，可先求出BE、EH的比例關系，代入已知的乘積式中，即可求得BEBH的值，由此得解．

解：①正確，證明如下：

∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，

∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，

∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，

∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；

②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五點都在以BD為直徑的圓上；

由圓周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正確；

③由②知：A、B、C、D、H五點共圓，則∠BAH=∠BDH；

又∵∠ABD=∠DBG=45°，

∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；

故③正確；

④過H作HN⊥CD于N，連接EG；

若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，已知：BH垂直平分DG；

得DE=EG，H是DG中點，HN為△DCG的中位線；

設CG=x，則：HN=x，EG=DE=x，DC=BC=（+1）x；

∵HN⊥CD，BC⊥CD，

∴HN∥BC，

∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，

∴△BEC∽△HEN，則BE：EH=BC：HN=2+2，即EH=；

∴HEBH=BH=4-2，即BEBH=4；

∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，

∴△DBH∽△EBC，得：DBBC=BEBH=4，

即BC2=4，得：BC2=4，即正方形ABCD的面積為4；

故④正確；

故答案為：①②③④．