Question

【題目】如圖，拋物線過、兩點，點、關于拋物線的對稱軸對稱，過點作軸，交軸于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）直接寫出點坐標，并求的面積；

（3）點為拋物線上一動點，且位于第四象限，當面積為6時，求出點坐標；

（4）若點在直線上運動，點在軸上運動，當以、、為頂點的三角形為等腰直角三角形時，直接寫出此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），3；（3）；（4），，，.

【解析】

（1）把、代入，得到關于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值，即可得到拋物線的函數解析式；

（2）根據拋物線的對稱性，可得點C的坐標，從而可得BC的值以及BC邊上的高，進而求出的面積；

（3）設，作于點，由，可列出關于m的方程，進而可求出點P的坐標；

（4）根據以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，分五類情況討論，即可求解.

（1）∵拋物線過、兩點，

∴ ，解得：

∴拋物線的解析式是：.

（2）∵拋物線的解析式是：，

∴拋物線的對稱軸是直線x=2，

∵點、關于拋物線的對稱軸對稱，點B的坐標是（1,3），

∴點C的坐標是(3，3)，

∴BC=3-1=2，BC∥x軸，

∴中，BC上的高為3，

∴的面積=2×3÷2=3；

（3）∵點為拋物線上一動點，且位于第四象限，如圖1，

∴設，作于點，

則，，，

∵，

∴，

即，

∴（舍去），，

∴.

（4）以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分五類情況討論：

①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

∵∠CBM=∠MHN=90°，

∴∠BCM+∠BMC=90°，

∵∠HMN+∠BMC=90°，

∴∠BCM=∠HMN，

∴CBMMHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，

∴N（2，0）；

②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，

作輔助線，構造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和RtMDC，同①的證法，

可得：RtNEMRtMDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH-OH=5-1=4，

∴N（-4，0）；

③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，

作輔助線，構造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和Rt CDN，同理可得：

RtNEM Rt CDN，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3-1=2，

∴N（-2，0）；

④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，如圖5，CN=MN，∠MNC=90°，

作輔助線，構造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和Rt CDN，同理可得：

RtNEMRtCDN，

∴ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（4，0）；

⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：點N的坐標為：，，，.

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5