Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，某個函數圖象上任意兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），且x1≤x2，d=|y1-y2|．將這個函數圖象在直線y=y1下方部分沿直線y=y1翻折，并將其向上平移d個單位，將這部分圖象與原函數圖象剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，圖象G對應的函數叫做這個函數的伴隨函數．例如：點A（1，0）、B（2，1）在一次函數y=x-1的圖象上，則它的伴隨函數為．

（1）點A、B在直線y=-2x上，點A在第二象限，點B在x軸上．當d=2時，求函數y=-2x的伴隨函數所對應的函數表達式．

（2）二次函數y=x2-2x-3的圖象交x軸負半軸交于點A，點B在拋物線上，設點B的橫坐標為m．

①當d=0時，求該拋物線的伴隨函數的圖象G與直線y=4在第一象限的交點坐標；

②若直線y=2與該拋物線的伴隨函數的圖象G有四個交點，直接寫出m的取值范圍．

（3）拋物線y=x2-2nx+n2-n-1與y軸交于點A，點B在點A的左側拋物線上，且d=1，當該拋物線的伴隨函數的圖象G上的點到x軸距離的最小值為1時，直接寫出n的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①圖象G與直線y=4在第一象限的交點坐標為或（1，4）；②或；（3）n的值為-1或2．

【解析】

（1）點B在x軸上，故點B（0，0），d＝2，則點A的縱坐標為2，求出點A的坐標，進而求解；

（2）①d＝0，則m2﹣2m﹣3＝0，則m＝﹣1或m＝3，故B（3，0），即可求解；②d＝|m2﹣2m﹣3|＜2，即可求解；

（3）①當點A在y軸下方時，翻折前的函數與x軸有交點，故圖象G上的點到x軸距離的最小值為0，不合題意；②當點A在y軸上方時，圖象G的最低點為點A，即n2﹣n﹣1＝1，即可求解．

解：（1）∵點B在x軸上，

故點B（0，0），

∵d=2，則點A的縱坐標為2，

故2=-2x，

解得：x=-1，

故A（-1，2），

設翻折后的函數表達式為：y=2x+b，

將點A的坐標代入上式得：2=-2+b，

解得：b=4，

故翻折部分平移后函數的表達式為：y=2x+4+d=2x+6，

故伴隨函數的表達式為：；

（2）y=x2-2x-3，令y=0，則x=-1或3，

故點A的坐標為：（-1，0），

設：B（m，m2-2m-3），

①d=0，則m2-2m-3=0，

∴m=-1或m=3，

∴B（3，0），

∴伴隨函數為；

當x＜-1或x＞3，y=4=x2-2x-3，

解得：（舍去負值）；

當-1≤x≤3時，y=4=-x2+2x+3，

解得：x=1；

∴圖象G與直線y=4在第一象限的交點坐標為：或（1，4）；

②d=|m2-2m-3|＜2，

∴-2＜m2-2m-3＜2，

∴或；

（3）y=x2-2nx+n2-n-1，

令x=0，則y=n2-n-1，

故點A（0，n2-n-1）；

①當點A在y軸下方時，

翻折前的函數與x軸有交點，

故圖象G上的點到x軸距離的最小值為0，不合題意；

②當點A在y軸上方時，

圖象G的最低點為點A，即n2-n-1=1，

解得：n=-1或2，

故n的值為-1或2．